Расчёт и анализ LC-полосового фильтра второго порядка

Рассматривается проектирование пассивного полосового фильтра на основе резонансного контура, определение центральной частоты, добротности и полосы пропускания, а также оценка амплитудно-частотной характеристики.

Тип: пассивный BPF Порядок: 2 Модель: RLC Анализ: АЧХ

Ключевые параметры

Центральная частота f0, добротность Q, полоса пропускания BW, затухание вне полосы.

Фильтр рассматривается как последовательный RLC-контур с выходом по резистору нагрузки.

Техническое задание

Параметр	Обозначение	Значение	Ед.
Центральная частота	f0	10.7	МГц
Полоса пропускания (по уровню −3 дБ)	BW	200	кГц
Номинальное сопротивление нагрузки	R	1.0	кОм
Допустимые потери в полосе	A_pass	≤ 3	дБ

Теоретические сведения

Резонансная частота

Для идеального LC-контура центральная частота задаётся:

f0 = 1 / (2π √(L C))

Добротность и полоса

Для последовательного RLC-представления:

Q = ω0 L / R = 1 / (ω0 C R) BW = f0 / Q ω0 = 2π f0

Чем выше Q, тем уже полоса и выше селективность, но повышается чувствительность к разбросу L и C.

Нормированная амплитудная характеристика

Для последовательного контура (выходное напряжение снимается с R) модуль передаточной функции можно записать через нормированную расстройку:

|H(jω)| = 1 / √( 1 + Q^2 ( (ω/ω0) - (ω0/ω) )^2 )

Расчёт элементов

Расчёт добротности

При заданных f0 и BW:

Q = f0 / BW Q = 10.7 МГц / 0.2 МГц = 53.5

Выбор L и вычисление C

Возьмём L = 1.0 μH и найдём C из условия резонанса:

C = 1 / ( (2π f0)^2 L ) f0 = 10.7·10^6 Гц L = 1.0·10^-6 Гн C ≈ 1 / ( (2π·10.7·10^6)^2 · 1.0·10^-6 ) C ≈ 221 пФ

Проверка согласованности с Q

Для последовательного RLC (с R=1 кОм) теоретический Q:

ω0 = 2π f0 Q = ω0 L / R ω0 ≈ 2π·10.7·10^6 ≈ 67.23·10^6 рад/с Q ≈ (67.23·10^6 · 1.0·10^-6) / 1000 ≈ 0.067

При R = 1 кОм последовательный контур получается с очень низкой добротностью. Для достижения Q≈53.5 требуется значительно меньший эквивалентный R в последовательной модели (порядка единиц Ом) либо применение параллельной реализации/связанных контуров/трансформаторной связи.

Параметр	Обозначение	Значение
Центральная частота	f0	10.7 МГц
Требуемая добротность	Q	53.5
Выбранная индуктивность	L	1.0 μH
Ёмкость по резонансу	C	≈ 221 пФ

Электрическая схема (концептуальная)

Результаты и обсуждение

Ожидаемая АЧХ

Максимум передачи вблизи f0.
На частотах ниже и выше резонанса модуль |H| уменьшается.
Ширина полосы по уровню −3 дБ определяется добротностью Q.

Замечание по реализации

Практические полосовые фильтры на ВЧ часто выполняют на параллельных контурах, связанных катушках или кварцевых/керамических резонаторах, чтобы обеспечить высокую селективность и согласование с трактом.

Формула для расчёта частот −3 дБ

При Q >> 1: f1 ≈ f0 ( 1 - 1/(2Q) ) f2 ≈ f0 ( 1 + 1/(2Q) ) BW = f2 - f1 ≈ f0 / Q

Список источников

Учебные материалы по теории электрических цепей и фильтрам.
Справочные сведения по резонансным контурам и добротности.
Практические руководства по проектированию ВЧ трактов.